TS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi¶n) − Ngæ Thà Nh¢

D

ra
ft

108 B€I TON CHÅN LÅC LÎP 6

Sigma - MATHS

1

MÖC LÖC

Sigma - MATHS

Möc löc

1 Sè tü nhi¶n

3

2 Sè nguy¶n

8

3 Ph¥n sè

10

4 H¼nh håc

14

5 Líi gi£i mët sè b i to¡n chån låc

19

2

Sigma - MATHS

1

Sè tü nhi¶n

1. Cho tªp hñp D = {0; 1; 2; 3; · · · ; 20}

a) Vi¸t tªp hñp D b¬ng c¡ch ch¿ ra t½nh ch§t °c tr÷ng cho c¡c ph¦n tû cõa nâ.
b) Tªp hñp D câ bao nhi¶u ph¦n tû?
c) Vi¸t tªp hñp E c¡c ph¦n tû l  sè ch®n cõa D (sè ch®n l  sè chia h¸t cho 2).
Tªp hñp E câ bao nhi¶u ph¦n tû?
d) Vi¸t tªp hñp F c¡c ph¦n tû l  sè l´ cõa D (sè l´ l  sè khæng chia h¸t cho 2).
Tªp hñp F câ bao nhi¶u ph¦n tû?
2. Trong mët lîp håc, méi håc sinh ·u håc ti¸ng Anh ho°c ti¸ng Ph¡p. Câ

25 ng÷íi håc ti¸ng Anh, 27 ng÷íi håc ti¸ng Ph¡p, cán 18 ng÷íi håc c£ hai thù
ti¸ng. Häi lîp håc â câ bao nhi¶u håc sinh?

3. Cho mët sè câ 3 chú sè l  abc (a, b, c kh¡c nhau v  kh¡c 0). N¸u êi ché

c¡c chú sè cho nhau ta ÷ñc mët sè mîi. Häi câ t§t c£ bao nhi¶u sè câ 3 chú
sè nh÷ vªy? (Kº c£ sè ban ¦u).
4. Quyºn s¡ch gi¡o khoa To¡n 6 tªp mët câ 132 trang. Hai trang ¦u khæng

¡nh sè. Häi ph£i dòng t§t c£ bao nhi¶u chú sè º ¡nh sè c¡c trang cõa quyºn
s¡ch n y?
5. Vîi 9 que di¶m h¢y s­p x¸p th nh mët sè La M¢:

a) Câ gi¡ trà lîn nh§t.
b) Câ gi¡ trà nhä nh§t.

6. Vi¸t c¡c tªp hñp sau b¬ng c¡ch li»t k¶ c¡c ph¦n tû cõa chóng:

a) Tªp hñp A c¡c sè tü nhi¶n x m  x − 2 = 14.
b) Tªp hñp B c¡c sè tü nhi¶n x m  x + 5 = 5.
c) Tªp hñp C c¡c sè tü nhi¶n khæng v÷ñt qu¡ 100.

7. Cho A l  tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n chia h¸t cho 3 v  nhä hìn 30; B l  tªp hñp

c¡c sè tü nhi¶n chia h¸t cho 6 v  nhä hìn 30; C l  tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n chia
h¸t cho 9 v  nhä hìn 30.
a) Vi¸t c¡c tªp hñp A, B, C b¬ng c¡ch li»t k¶ c¡c ph¦n tû cõa c¡c tªp hñp â.
b) X¡c ành sè ph¦n tû cõa méi tªp hñp.
c) Dòng k½ hi»u ⊂ º thº hi»n quan h» giúa c¡c tªp hñp â.
3

Sigma - MATHS

8. T¼m hai sè bi¸t têng cõa chóng l  176; méi sè ·u câ hai chú sè kh¡c nhau

v  sè n y l  sè kia vi¸t theo thù tü ng÷ñc l¤i.

9. Khæng t½nh gi¡ trà cö thº, h¢y so s¡nh hai biºu thùc:

a) A = 199 · 201 v  B = 200 · 200.
b) C = 35 · 53 − 18 v  D = 35 + 53 · 34.
10. T¼m x bi¸t:

a) (x + 74) − 318 = 200
b) 3636 : (12x − 91) = 36
c) (x : 23 + 45) · 67 = 8911.
11. Cho S = 7 + 10 + 13 + · · · + 97 + 100.

a) Têng tr¶n câ bao nhi¶u sè h¤ng?
b) T¼m sè h¤ng thù 22.
c) T½nh S.

12. Vi¸t c¡c t½ch ho°c th÷ìng sau d÷îi d¤ng lôy thøa cõa mët sè.

a) 25 · 84 ;

b) 256 · 1253 ;

c) 6255 : 257

d) 123 · 33 .

13. T¼m
x ∈ N bi¸t:
10
x

a) x = 1 ;
b) x10 = x ;
c) (2x − 15)5 = (2x − 15)3
d) 2x − 15 = 17 ; e) (7x − 11)3 = 25 · 52 + 200.
14. T½ch c¡c sè l´ li¶n ti¸p câ tªn còng l  7. Häi t½ch â câ bao nhi¶u thøa sè?
15. Cho S = 1 + 31 + 32 + 33 + · · · + 330.

T¼m chú sè tªn còng cõa S, tø â suy ra S khæng ph£i l  sè ch½nh ph÷ìng.
16. T½nh gi¡ trà biºu thùc:

a) (102 + 112 + 122) : (132 + 142)
b) 9! − 8! − 7!16· 822
c) 11 ·(3213· 4· 4· 112 −) 169 .
17. T¼m x bi¸t:

a) (19x + 2 · 52) : 14 = (13 − 8)2 − 42
4

Sigma - MATHS

b) 2 · 3x = 10 · 312 + 8 · 274.
18. Mët thòng câ 16 l½t. H¢y dòng mët b¼nh 7 l½t v  mët b¼nh 3 l½t º chia 16

l½t th nh hai ph¦n b¬ng nhau.

19. Trong c¡c sè sau, sè n o chia h¸t cho 2; cho 4; cho 8; cho 5; cho 25; cho

125?

1010; 1076; 1984; 2782; 3452; 5341; 6375; 7800.

20. Vîi còng c£ 4 chú sè 2; 5; 6; 7, vi¸t t§t c£ c¡c sè:

a) Chia h¸t cho 4;
c) Chia h¸t cho 25;

b) Chia h¸t cho 8;
d) Chia h¸t cho 125.

21. Câ bao nhi¶u sè tü nhi¶n câ ba chú sè v  chia h¸t cho 3?
22. Bi¸t r¬ng A = 717 + 17 · 3 − 1 l  mët sè chia h¸t cho 9. Câ thº sû döng k¸t

qu£ n y º chùng tä r¬ng B = 718 + 18 · 3 − 1 công chia h¸t cho 9 khæng?
Chó þ: Ta câ thº chùng minh k¸t qu£ têng qu¡t hìn:
Vîi måi sè tü nhi¶n n, n¸u

7n + 3n − 1

chia h¸t cho 9 th¼

7n+1 + 3(n + 1) − 1

công chia h¸t cho 9.
(Lo¤i b i tªp n y chu©n bà cho håc sinh l m quen vîi ph÷ìng ph¡p quy n¤p to¡n
håc).

23. a) Cho n l  mët sè khæng chia h¸t cho 3. Chùng minh r¬ng n2 chia cho 3

d÷ 1.
b) Cho p l  mët sè nguy¶n tè lîn hìn 3. Häi p2 +2003 l  sè nguy¶n tè hay hñp sè?
24. Méi sè sau câ bao nhi¶u ÷îc: 90; 540; 3675.
25. i·n v o b£ng sau måi sè nguy¶n tè p m  p2 ≤ a :

a 59
p

121

179

197

5

217

Sigma - MATHS

26. Hai sè nguy¶n tè sinh æi l  hai sè nguy¶n tè hìn k²m nhau 2 ìn và. T¼m

hai sè nguy¶n tè sinh æi nhä hìn 50.

27. Mët c«n pháng h¼nh chú nhªt k½ch th÷îc 630 × 480 (cm) ÷ñc l¡t lo¤i g¤ch

h¼nh vuæng. Muèn cho hai h ng g¤ch cuèi còng s¡t hai bùc t÷íng li¶n ti¸p
khæng bà c­t x²n th¼ k½ch th÷îc lîn nh§t cõa vi¶n g¤ch l  bao nhi¶u? º l¡t
c«n pháng â c¦n bao nhi¶u g¤ch?
28. Câ 64 ng÷íi i tham quan b¬ng hai lo¤i xe: Lo¤i 12 ché ngçi v  lo¤i 7 ché

ngçi. Bi¸t sè ng÷íi i vøa õ sè gh¸ ngçi, häi méi lo¤i câ m§y xe?

29. T¼m hai sè tü nhi¶n a v  b bi¸t t½ch cõa chóng l  2940 v  BCNN cõa chóng

l  210.

30. Ba håc sinh, méi ng÷íi mua mët lo¤i bót. Gi¡ ba lo¤i l¦n l÷ñt l  1200 çng,

1500 çng, 2000 çng. Bi¸t sè ti·n ph£i tr£ l  nh÷ nhau, häi méi håc sinh mua
½t nh§t bao nhi¶u bót?

31. Mët m£nh §t h¼nh chú nhªt d i 112m, rëng 40m. Ng÷íi ta muèn chia

m£nh §t th nh nhúng æ vuæng b¬ng nhau º trçng c¡c lo¤i rau. Häi vîi c¡ch
chia n o th¼ c¤nh cõa æ vuæng l  lîn nh§t v  b¬ng bao nhi¶u?

32. Trong mët buêi li¶n hoan, Ban tê chùc ¢ mua t§t c£ 840 c¡i b¡nh, 2352

c¡i kµo v  560 qu£ quþt chia ·u ra c¡c ¾a, ¾a gçm c£ b¡nh, kµo v  quþt. T½nh
sè ¾a nhi·u nh§t ph£i câ méi ¾a bao nhi¶u b¡nh, kµo, quþt?

33. Sè håc sinh cõa mët tr÷íng l  mët sè lîn hìn 900, gçm ba chú sè. Méi l¦n

x¸p h ng 3, h ng 4, h ng 5 ·u vøa õ, khæng thøa ai. Häi tr÷íng â câ bao
nhi¶u håc sinh?
34. Ng÷íi ta ¸m trùng trong mët rê. N¸u ¸m theo tøng chöc công nh÷ ¸m

theo t¡ (mët t¡ câ 12 qu£), ho°c ¸m theo tøng 15 qu£ th¼ l¦n n o công cán
l¤i 1 qu£. T½nh sè trùng trong rê, bi¸t r¬ng sè trùng ch÷a ¸n 100.
35. T½nh têng:

a) 23476893 + 542771678 ;

b) 32456 + 97685 + 238947
6

Sigma - MATHS

36. T½nh nhanh c¡c têng sau:

a) 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 ;
b) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + · · · + 100.
37. T¼m x, bi¸t : a) (x − 78) · 26 = 0 ;
38. T½nh nhanh:

b) 39 · (x − 5) = 39

1 · 5 · 6 + 2 · 10 · 12 + 4 · 20 · 24 + 9 · 45 · 54
1 · 3 · 5 + 2 · 6 · 10 + 4 · 12 · 20 + 9 · 27 · 45

39. Chùng tä r¬ng hai sè n + 1 v  3n + 4(n ∈ N) l  hai sè nguy¶n tè còng nhau.
40. T¼m sè tü nhi¶n a, bi¸t r¬ng 156 chia cho a d÷ 12, v  280 chia cho a d÷ 10.
41. T¼m hai sè tü nhi¶n a v  b (a > b) câ BCNN b¬ng 336 v  ×CLN b¬ng 12.
42. Câ 133 quyºn vð, 80 bót bi, 170 tªp gi§y. Ng÷íi ta chia vð, bót bi, gi§y

th nh c¡c ph¦n th÷ðng ·u nhau, méi ph¦n th÷ðng gçm c£ ba lo¤i. Nh÷ng sau
khi chia cán thøa 13 quyºn vð, 8 bót bi, 2 tªp gi§y khæng õ chia v o c¡c ph¦n
th÷ðng. T½nh xem câ bao nhi¶u ph¦n th÷ðng?

43. Qu¢ng ÷íng AB d i 110km. Lóc 7 gií, ng÷íi thù nh§t i tø A º ¸n B,

ng÷íi thù hai i tø B º ¸n A. Hå g°p nhau lóc 9 gií. Bi¸t vªn tèc ng÷íi thù
nh§t lîn hìn vªn tèc ng÷íi thù hai l  5km/h. T½nh vªn tèc méi ng÷íi.

44. Mët con châ uêi mët con thä c¡ch nâ 150dm. Mët b÷îc nh£y cõa châ d i

9dm, mët b÷îc cõa thä d i 7dm v  khi châ nh£y mët b÷îc th¼ thä công nh£y
mët b÷îc. Häi châ ph£i nh£y bao nhi¶u b÷îc mîi uêi kàp thä?

45. Mët b  mang mët rê trùng ra chñ. Dåc ÷íng g°p mët b  kh¡c væ þ öng

ph£i, rê trùng rìi xuèng §t. B  kia tä þ muèn ·n l¤i sè trùng b±n häi:
- B  cho bi¸t trong rê câ bao nhi¶u trùng?
B  câ rê trùng tr£ líi:
- Tæi ch¿ nhî r¬ng sè trùng â chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, l¦n n o
công cán thøa ra mët qu£, nh÷ng chia cho 7 th¼ khæng thøa qu£ n o. €, m  sè
trùng ch÷a ¸n 400 qu£.
T½nh xem trong rê câ bao nhi¶u trùng?
46. T¼m ba sè tü nhi¶n a, b, c kh¡c 0 sao cho c¡c t½ch 140a, 180b, 200c b¬ng
nhau v  câ gi¡ trà nhä nh§t.
7

Sigma - MATHS

2

Sè nguy¶n

47. Tr¶n tröc sè, iºm A c¡ch gèc 2 ìn và v· b¶n tr¡i; iºm B c¡ch iºm A l 

3 ìn và. Häi:
a) iºm A biºu di¹n sè nguy¶n n o?
b) iºm B biºu di¹n sè nguy¶n n o?

48. T¼m c¡c gi¡ trà th½ch hñp cõa a v  b:

a) a00 > −111
c) −cb3 < −cba

b) −a99 > −600
d) −cab < −c85

49. Trong c¡c m»nh · sau, m»nh · n o óng, m»nh · n o sai?

a) N¸u a = b th¼ |a| = |b|
b) N¸u |a| = |b| th¼ a = b
c) N¸u |a| < |b| th¼ a < b.
50. T¼m x bi¸t:

a) |x| + | − 5| = | − 37|
51. T¼m x ∈ Z bi¸t:

a) |x| < 10

b) |x| > 21

b) | − 6| · |x| = |54|
c) |x| > −3

d) |x| < −1.

52. T¼m c¡c v½ dö chùng tä r¬ng c¡c kh¯ng ành sau khæng óng:

a) Vîi måi a ∈ Z ⇒ a ∈ N ;
b) Vîi måi a ∈ Z ⇒ |a| > 0 ;
c) Vîi måi a ∈ Z ⇒ |a| > a ;
d) Vîi måi a, b ∈ Z v  |a| = |b| ⇒ a = b ;
e) Vîi måi a, b ∈ Z v  |a| > |b| ⇒ a > b.

53. Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n a ta luæn câ:

a) |a| ≥ 0 : Gi¡ trà tuy»t èi cõa mët sè nguy¶n th¼ khæng ¥m.
b) |a| ≥ a : Gi¡ trà tuy»t èi cõa mët sè nguy¶n luæn luæn lîn hìn ho°c b¬ng
ch½nh nâ.
54. Cho |x| = 5; |y| = 11. T½nh x + y.
55. T½nh têng:
8

Sigma - MATHS

a) S1 = a + |a| vîi a ∈ Z ;
b) S2 = a + |a| + a + |a| + · · · + a vîi a l  sè nguy¶n ¥m v  têng câ 101 sè h¤ng.
56. T½nh nhanh:

a) −37 + 54 + (−70) + (−163) + 246 ;
b) −359 + 181 + (−123) + 350 + (−172) ;
c) −69 + 53 + 46 + (−94) + (−14) + 78.
57. Cho 18 sè nguy¶n sao cho têng cõa 6 sè b§t k¼ trong c¡c sè â ·u l  mët

sè ¥m. Gi£i th½ch v¼ sao têng cõa 18 sè â công l  mët sè ¥m? B i to¡n cán
óng khæng n¸u thay 18 sè bði 19 sè?
58. T¼m sè nguy¶n x, bi¸t:

a) x + 15 = 7
b) x − 5 = −8
c) 12 + (4 − x) = −5
d) |x| − 6 = 5 ;
e) |x − 3| = 4
59. T¼m c¡c sè nguy¶n x sao cho:
a) |x| = x ;
b) |x| > x ;
c) |x| + x = 0 ;
d) x + 5 = |x| − 5.
60. Cho d¢y sè 1; −2; 3; −4; 5; −6; 7; −8; 9; −10. Chån ra ba sè rçi °t d§u "+"

ho°c d§u "-" giúa c¡c sè §y. T½nh gi¡ trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t ¤t ÷ñc
biºu thùc mîi lªp.
61. T½nh b¬ng c¡ch hñp l½ nh§t:

a) −2003 + (−21 + 75 + 2003)

b) 1152 − (374 + 1152) + (−65 + 374).

62. T¼m x bi¸t:

a) 461 + (x − 45) = 387
b) 11 − (−53 + x) = 97
c) −(x + 84) + 213 = −16.
63. Vi¸t 5 sè nguy¶n v o 5 ¿nh cõa mët ngæi sao n«m c¡nh sao cho têng cõa

hai sè t¤i hai ¿nh li·n nhau luæn b¬ng -6. T¼m 5 sè nguy¶n â.
64. T¼m x bi¸t:

9

Sigma - MATHS

a) −12(x − 5) + 7(3 − x) = 5
b) 30(x + 2) − 6(x − 5) − 24x = 100.
c) x(x + 3) = 0
d) (x − 2)(5 − x) = 0
2
e) (x − 1)(x + 1) = 0
f) (x + 3)(x − 4) = 0
65. T¼m x ∈ Z bi¸t:
a) |2x − 5| = 13
b) |7x + 3| = 66
c) |5x − 2| ≤ 13
d) (x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + · · · + (x + 99) = 0
e) (x − 3) + (x − 2) + (x − 1) + · · · + 10 + 11 = 11 (sè h¤ng ¦u ti¶n ÷ñc vi¸t
l  x − 3 v  k¸t thóc d¢y l  sè 11).
66. Thüc hi»n ph²p t½nh mët c¡ch hñp l½:

a) (−125) · (+25) · (−32) · (−14) ;
b) (−159)(+56) + (+43) · (−159) + (−159) ;
c) (−31) · (+52) + (−26) · (−162).
67. Cho S = 1 − 3 + 32 − 33 + · · · + 398 − 399.

a) Chùng minh r¬ng S l  bëi cõa -20.
b) T½nh S, tø â suy ra 3100 chia cho 4 d÷ 1.

68. T¼m sè nguy¶n d÷ìng n sao cho n + 2 l  ÷îc cõa 111 cán n - 2 l  bëi cõa

11.
3

Ph¥n sè

69. Trong ng y hëi to¡n, ëi to¡n cõa mët khèi ÷ñc chia th nh bèn tèp. N¸u

l§y 53 sè håc sinh cõa tèp thù nh§t chia ·u cho ba tèp kia th¼ sè håc sinh bèn
tèp b¬ng nhau. N¸u tèp thù nh§t bît i 6 håc sinh th¼ lóc â sè håc sinh cõa
tèp thù nh§t b¬ng têng sè håc sinh ba tèp kia. Häi méi tèp câ bao nhi¶u håc
sinh?

10

Sigma - MATHS

70. Chùng minh r¬ng:

a) 211··223 ··523· ····39· 40 = 2120
· 3 · 5 · · · (2n − 1)
1
b) (n +11)(n
= n vîi n ∈ N ∗
+ 2)(n + 3) · · · 2n 2

71. T¼m c¡c gi¡ trà cõa x, sao cho:

−11
x
−3
<
<
.
12
12
4

72. Quy çng m¨u rçi so s¡nh c¡c ph¥n sè sau:
−789
v 
;
a) −8
31
3131

b) 22.3114.52 v  22.3294.53 ;

c) n1 v  n +1 1 (n ∈ N ∗)

73. Chùng minh r¬ng c¡c têng sau lîn hìn 1.

a) M = 83 + 153 + 73 ;

29
39
49
b) N = 19
+
+
+
;
60 100 150 300
31 21 −11 −1
c) P = 41
+
+
+
+
90 72 40
45
36

74. T¼m x ∈ Z bi¸t: 1 +

−1
19
x
−1 58 59 −1
+
<
+
<
+
+
.
60
120 36
60
90 72
60

75. T½nh b¬ng ph÷ìng ph¡p hñp lþ nh§t:
31
7
8
a) 23
− ( + );
32 23

12 13
79 28
+ ) − ( − );
b) ( 13 + 67
41
67 41
8
17
3
c) 38
−( −
− )
45
45 51 11

76. T½nh c¡c têng sau b¬ng ph÷ìng ph¡p hñp lþ nh§t:
1
1
1
1
a) A = 1.2
+
+
+ ... +
2.3 3.4
49.50

2
2
2
2
b) B = 3.5
+
+
+ ... +
5.7 7.9
37.39
3
3
3
3
c) C = 4.7
+
+
+ ... +
7.10 10.13
73.76

11

Sigma - MATHS

77. T½nh b¬ng c¡ch hñp lþ:

1 10 1
a) 175 . −31
. . . 3;
125 2 17 2
 11 −5

4 11  8
b) 4 . 9 − 9 . 4 . 33 ;

18 19 20   −5 1 1 
c) 17
+
−
−
.
+ + .
28 29 30 31
12
4 6

78. T½nh nhanh:
3
3
3
3
−
+
−
3
+
24.47 − 23
7 10 1001 13
.
9
9
9
9
24 + 47.23
−
+ −
+9
1001 13 7 10

.
79. T¼m x:

a) 13 + 23 x = 41 ;
b) 34 + 14 : x = −1;
5
c) 1 − 5 8 + x − 7 24 : 16 23 = 0;
d) 22 + 26 + 122 + ... + x(x 2+ 1) = 1 1989
.
1991
 3

80. Mët ca næ xuæi dáng sæng tø A ¸n B trong 3 gií rçi i ng÷ñc dáng trð

v· A m§t 4 12 gií. N¸u mët b± nùa træi tü do xuæi dáng th¼ m§t bao nhi¶u thíi
gian º træi tø A ¸n B?
81. T¼m x trong c¡c hén sè:

a) 2 x7 = 75
;
35

b) 4 x3 = 47
;
x

x
112
c) x 15
=
.
5

12

Sigma - MATHS

82.T½nh:

a)

5 4  1
1
2 +
: 10 − 9
;
6 9
12
2
51
1
5
b) 1 18 − 18 15 + 1 12 ;
 2
1 1
c) − 7 . 9 2 − 8, 75 : 7 + 0, 625 : 1 23

83. T¼m x bi¸t:

a)

13
13 
=2
7, 5x : 9 − 6
21
25

− x).5, 25
b) (1, 16
5
1 2

= 75%

10 − 7 .2
9
4 17

84. Trong khèi håc sinh lîp 9 cõa mët tr÷íng trung håc cì sð câ 60% sè håc

sinh th½ch bâng ¡, 23 sè håc sinh th½ch bâng b n, 40% sè håc sinh th½ch bâng
truy·n v  154 sè håc sinh th½ch ¡ c¦u. H¢y t¼m sè håc sinh cõa méi nhâm còng
th½ch mët mæn thº thao, bi¸t sè håc sinh cõa khèi 9 l  225.

85. N«m nay con 12 tuêi, bè 42 tuêi. T½nh t¿ sè giúa tuêi con v  tuêi bè ð

nhúng thíi iºm hi»n nay; tr÷îc ¥y 7 n«m; sau ¥y 28 n«m.

86. Ba ng÷íi chung nhau mua h¸t mët rê trùng. Ng÷íi thù nh§t mua

sè
trùng m  hai ng÷íi kia mua. Sè trùng ng÷íi thù hai mua b¬ng 35 sè trùng ng÷íi
thù nh§t mua. Ng÷íi thù ba mua 14 qu£. T½nh sè trùng lóc ¦u trong rê.

13

1
2

Sigma - MATHS

4

H¼nh håc

87. 1) Trong h¼nh d÷îi câ hai ÷íng th¯ng m v  n v  ba iºm ch÷a °t t¶n.

H¢y i·n c¡c chú A, B, C v o óng và tr½ cõa nâ bi¸t:
a) iºm A khæng thuëc ÷íng th¯ng m v  công khæng thuëc ÷íng th¯ng n;
b) iºm B khæng thuëc ÷íng th¯ng m;
c) iºm C khæng thuëc ÷íng th¯ng n.
2) V³ ÷íng th¯ng p v  c¡c iºm A, B n¬m tr¶n p.

a) N¶u c¡ch v³ iºm C th¯ng h ng vîi hai iºm A, B;
b) N¶u c¡ch v³ iºm D khæng th¯ng h ng vîi 2 iºm A, B.
88. Cho tr÷îc mët sè iºm trong â khæng câ 3 iºm n o th¯ng h ng. V³ c¡c

÷íng th¯ng i qua c¡c c°p iºm. Bi¸t têng sè ÷íng th¯ng v³ ÷ñc 28. Häi câ
bao nhi¶u iºm cho tr÷îc?
89. V³ iºm D v  E sao cho D n¬m giúa C v  E cán E n¬m giúa D v  F.

a) V¼ sao câ thº kh¯ng ành 4 iºm C, D, E, F th¯ng h ng
b) Kº t¶n hai tia tròng nhau gèc E.
c) V¼ sao câ thº kh¯ng ành iºm E n¬m giúa C v  F.

14

Sigma - MATHS

90. V³ l¤i h¼nh d÷îi rçi tr£ líi c¡c c¥u häi sau:

a) H¼nh câ m§y tia? Câ m§y o¤n th¯ng?
b) Nhúng c°p o¤n th¯ng n o khæng c­t nhau?
c) Hai o¤n th¯ng n o c­t nhau t¤i iºm n¬m giúa hai ¦u cõa méi o¤n th¯ng?

91. Tr¶n ÷íng th¯ng xy l§y mët iºm O v  hai iºm M, N sao cho OM =

2cm; ON = 3cm. V³ c¡c iºm A v  B tr¶n ÷íng th¯ng xy sao cho M l  trung
iºm cõa OA; N l  trung iºm cõa OB. T½nh ë d i AB.
92. Gåi O l  mët iºm cõa o¤n th¯ng AB = 4cm. X¡c ành và tr½ cõa iºm O

º :
a) Têng AB + BO ¤t gi¡ trà nhä nh§t;
b) Têng AB + BO = 2BO;
c) Têng AB + BO = 3BO.

93. Cho ÷íng th¯ng m v  n«m iºm A,B,C,D,E khæng thuëc m.

a) Chùng tä r¬ng trong hai nûa m­t ph¯ng èi nhau bð l  ÷íng th¯ng m, câ
mët m°t ph¯ng chùa ½t nh§t 3 iºm.
b) Cù qua hai iºm v³ mët o¤n th¯ng. Häi nhi·u nh§t câ m§y o¤n th¯ng c­t
m?
94. V³ gâc xOy kh¡c gâc bµt. L§y A tr¶n tia Ox, l§y B tr¶n tia Oy (A v  B
\ k· bò vîi gâc BOA
\.
kh¡c O). H¢y l§y mët iºm C sao cho gâc BOC
a) Trong ba iºm A,O,C iºm n o n¬m giúa hai iºm cán l¤i?
b) V³ c¡c tia BA,BC häi iºm O n¬m trong gâc n o?
c) Kº t¶n c¡c c°p gâc k· bò ¿nh B.

15

Sigma - MATHS

d . V³ hai tia Om, On tr¶n còng mët nûa m°t ph¯ng bí xy
95. Cho gâc bµt xOy

d = a0 . T¼m gi¡ trà cõa a º tia Om n¬m giúa hai tia
\ = 1200 ; xOn
sao cho xOm
Oy, On.
d = 1000 ; xOt
d =
96. Tr¶n m°t ph¯ng, cho tia Ox. V³ hai tia Oy, Ot sao cho xOy

1500 .

d.
T½nh sè o gâc yOt

d =
97. Tr¶n nûa m°t ph¯ng bí chùa tia Ox v³ ba tia Oy, Oz, Ot sao cho xOy
d = 750 ; xOt
d = 1000 . X¡c ành xem tia n o l  tia ph¥n gi¡c cõa mët gâc.
500 ; xOz

98. Cho ba tia OA, OB, OC t¤o th nh ba gâc b¬ng nhau v  khæng câ iºm

\ BOC
\ v  COA
\ . V¼ sao câ thº kh¯ng ành tia èi cõa méi tia
trong chung DOB;
nâi tr¶n l  tia ph¥n gi¡c cõa gâc t¤o bði hai tia cán l¤i?

99. Tr¶n ÷íng th¯ng xy l§y iºm O. V³ ÷íng trán (O; 3) c­t Ox, Oy thù tü

t¤i A v  B. V³ ÷íng trán (O; 2) c­t tia Ox, Oy thù tü t¤i C v  D. V³ ÷íng
trong (D; BD) c­t BO t¤i M v  c­t ÷íng trán (O; 2) t¤i N.
a) So s¡nh AC v  BD.
b) Chùng tä M l  trung iºm cõa OD
c) So s¡nh têng ON + ND vîi OB.
100. a) V³ 4ABC bi¸t BC = 3,5cm; AB = 2cm; AC = 3cm.

b) V³ ti¸p 4ADE bi¸t D thuëc tia èi cõa tia AB v  AD = 1cm; E thuëc tia
èi tia AC v  AE = 1,5cm.
c) Hai tia BE v  CD c­t nhau t¤i O. Dòng compa º kiºm tra xem E v  D theo
thù tü câ ph£i l  trung iºm cõa OB v  OC khæng?
101. Mët m£nh gi§y h¼nh chú nhªt bà gªp l¤i theo h¼nh d÷îi ¥y. T½nh gâc a.

16

Sigma - MATHS

102. ABCD l  mët h¼nh vuæng. 4DP C l  mët tam gi¡c ·u. AB = DP v  CD
\.
= CP. T¼m gâc ADP

\ = 300 v  AEB
\ = 700 . T¼m gâc ABC
\
103. Trong h¼nh v³, BE = AC, CAE

104. Trong biºu ç d÷îi ¥y, AB = AC = AD. Gâc ABC = 400 v  gâc ACD =

800 .

T½nh gâc BAD.

105. ABCD l  mët h¼nh vuæng v  tam gi¡c BCE l  tam gi¡c ·u. T½nh gâc

AED.

106. T½nh gâc: ba + bb + cb + db + eb + fb

17

Sigma - MATHS

\ = 600 . T½nh gâc
107. Trong tam gi¡c ABC, AB = AC, AD = AE v  BAD

CDE.

108. Trong tam gi¡c ABC, gâc ABC b¬ng 800, AD = AE v  CD = CF. T½nh

gâc EDF.

18

Sigma - MATHS

5

Líi gi£i mët sè b i to¡n chån låc

B i 11: Cho S = 7 + 10 + 13 + · · · + 97 + 100.

a) Têng tr¶n câ bao nhi¶u sè h¤ng?
b) T¼m sè h¤ng thù 22.
c) T½nh S.
B i gi£i:

a) Sè sè h¤ng cõa têng l  : 1003− 7 + 1 = 32 (sè h¤ng).
b) Gåi sè h¤ng thù 22 l  x, ta câ: x −3 7 + 1 = 22 ⇒ x = 70.
c) S = 7 + 10 + 13 + · · · + 97 + 100
hay S = 100 + 97 + 94 + · · · + 10 + 7 (giao ho¡n)
⇔ 2S = (7 + 100) + (10 + 97) + · · · + (100 + 7) (vîi 32 nhâm.)
⇔ 2S = (7 + 100) · 32
(7 + 100) · 32
= 1712.
⇔S=
2

B i 22: Bi¸t r¬ng A = 717 + 17 · 3 − 1 l  mët sè chia h¸t cho 9. Câ thº sû döng

k¸t qu£ n y º chùng tä r¬ng B = 718 + 18 · 3 − 1 công chia h¸t cho 9 khæng?
B i gi£i:

Theo ¦u b i A = 717 + 17 · 3 − 1 l  mët sè tü nhi¶n chia h¸t cho 9 tùc l  ta câ
(717 + 50) | 9. Ta vi¸t sè B nh÷ sau:
B = 718 + 18 · 3 − 1 = 718 + 53 = 7(717 + 50) − 297 = 7 · (717 + 50) − 33 · 9.
V¼ (717 + 50) | 9 v  (33 · 9) | 9 n¶n B | 9.
Chó þ: Ta câ thº chùng minh k¸t qu£ têng qu¡t hìn:
Vîi måi sè tü nhi¶n n, n¸u

7n + 3n − 1

chia h¸t cho 9 th¼

7n+1 + 3(n + 1) − 1

công chia h¸t cho 9.
(Lo¤i b i tªp n y chu©n bà cho håc sinh l m quen vîi ph÷ìng ph¡p quy n¤p to¡n
håc).

B i 32: Trong mët buêi li¶n hoan, Ban tê chùc ¢ mua t§t c£ 840 c¡i b¡nh,

2352 c¡i kµo v  560 qu£ quþt chia ·u ra c¡c ¾a, ¾a gçm c£ b¡nh, kµo v  quþt.
T½nh sè ¾a nhi·u nh§t ph£i câ méi ¾a bao nhi¶u b¡nh, kµo, quþt?
B i gi£i:
19

Sigma - MATHS

Sè ¾a nhi·u nh§t ph£i câ l  ×CLN(840, 2352, 560) = 56.
Méi ¾a câ sè b¡nh l : 840 : 56 = 15 (b¡nh)
Méi ¾a câ sè kµo l : 2352 : 56 = 42 (kµo)
Méi ¾a câ sè quþt l : 560 : 56 = 10 (qu£)
Vªy nhi·u nh§t 56 ¾a, méi ¾a câ 15 c¡i b¡nh, 42 c¡i kµo, 10 qu£ quþt.
B i 42: Câ 133 quyºn vð, 80 bót bi, 170 tªp gi§y. Ng÷íi ta chia vð, bót bi, gi§y

th nh c¡c ph¦n th÷ðng ·u nhau, méi ph¦n th÷ðng gçm c£ ba lo¤i. Nh÷ng sau
khi chia cán thøa 13 quyºn vð, 8 bót bi, 2 tªp gi§y khæng õ chia v o c¡c ph¦n
th÷ðng. T½nh xem câ bao nhi¶u ph¦n th÷ðng?
B i gi£i:

Sè vð ¢ chia: 133 - 13 = 120 quyºn.
Sè bót ¢ chia: 80 - 8 = 72 bót.
Sè tªp gi§y ¢ chia: 170 - 2 = 168 tªp gi§y.
Sè ph¦n th÷ðng l  ×CLN(120, 72, 168) = 24 ph¦n th÷ðng.
Vªy sè ph¦n th÷ðng l  24.
B i 45: Mët b  mang mët rê trùng ra chñ. Dåc ÷íng g°p mët b  kh¡c væ þ

öng ph£i, rê trùng rìi xuèng §t. B  kia tä þ muèn · l¤i sè trùng b±n häi:
- B  cho bi¸t trong rê câ bao nhi¶u trùng?
B  câ rê trùng tr£ líi:
- Tæi ch¿ nhî r¬ng sè trùng â chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, l¦n n o
công cán thøa ra mët qu£, nh÷ng chia cho 7 th¼ khæng thøa qu£ n o. €, m  sè
trùng ch÷a ¸n 400 qu£.
T½nh xem trong rê câ bao nhi¶u trùng?
B i gi£i:

Gåi sè trùng l  a. Ta câ a − 1 l  bëi chung cõa 2, 3, 4, 5, 6 v  a − 1 < 399. Tø
â ta ÷ñc:
a − 1 ∈ {60; 120; 180; 240; 300; 360}
a ∈ {61; 121; 181; 241; 301; 361}
Do a | 7 n¶n a = 301. Rê trùng câ 301

qu£.

B i 49: Trong c¡c m»nh · sau, m»nh · n o óng, m»nh · n o sai?

a) N¸u a = b th¼ |a| = |b|
b) N¸u |a| = |b| th¼ a = b

20

Sigma - MATHS

c) N¸u |a| < |b| th¼ a < b.
B i gi£i:

a) óng
b) Sai (v½ dö: a = 3, b = -3) ;
c) Sai (v½ dö: a = -3, b = -4)
B i 65: T¼m x ∈ Z bi¸t:

a) |2x − 5| = 13
b) |7x + 3| = 66
c) |5x − 2| ≤ 13
d) (x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + · · · + (x + 99) = 0
e) (x − 3) + (x − 2) + (x − 1) + · · · + 10 + 11 = 11
B i gi£i:

a) |2x − 5| = 13. X²t 2 tr÷íng hñp: 2x − 5 = 13; 2x − 5 = −13.
Vªy x = 9; x = -4.
b) |7x + 3| = 66 suy ra x = 9.
c) |5x − 2| ≤ 13 n¶n
−13 ≤ 5x − 2 ≤ 13
−11 ≤ 5x ≤ 15
−2 ≤ x ≤ 3 ⇔ x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2; 3}

d) (x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + · · · + (x + 99) = 0 suy ra
[(x + 1) + (x + 99)] · 50
= (x + 50) · 50 = 0; x + 50 = 0 ⇔ x = −50.
2
e) (x − 3) + (x − 2) + (x − 1) + · · · + 10 + 11 = 11.
Bä sè h¤ng 11 ð hai v¸ ta ÷ñc: (x − 3) + (x − 2) + (x − 1) + · · · + 10 = 0
Gåi sè sè h¤ng ð v¸ tr¡i l  n(n > 0) ta câ:
[(x − 3) + 10] · n
= 0 hay (x + 7) · n = 0.
2
V¼ n 6= 0 n¶n x + 7 = 0, do â x = −7.
B i 71: T¼m c¡c gi¡ trà cõa x, sao cho:

−11
x
−3
<
<
.
12
12
4

B i gi£i:

−9
Chån m¨u sè chung l  12 ta câ: −3
=
.
4
12
21

Sigma - MATHS

x
−9
Do â ta câ: −11
<
<
, suy ra −11 < x < −9. Vªy x = −10.
12
12
12

B i 80: Mët ca næ xuæi dáng sæng tø A ¸n B trong 3 gií rçi i ng÷ñc dáng

trð v· A m§t 4 21 gií. N¸u mët b± nùa træi tü do xuæi dáng th¼ m§t bao nhi¶u
thíi gian º træi tø A ¸n B?
B i gi£i:

Vªn tèc ca næ khi xuæi dáng: 31
Vªn tèc ca næ khi ng÷ñc dáng: 1 : 4 12 = 29 .
Hi»u 13 − 29 = 19 ch½nh l  vªn tèc cõa b± n÷îc træi tü do.
Vªn tèc b± n÷îc træi tü do: 19 : 2 = 181
Thíi gian º b± n÷îc træi tü do tø A ¸n B l : 1 : 181 = 18 (gií).
B i 86: Ba ng÷íi chung nhau mua h¸t mët rê trùng. Ng÷íi thù nh§t mua

1
2

sè trùng m  hai ng÷íi kia mua. Sè trùng ng÷íi thù hai mua b¬ng 35 sè trùng
ng÷íi thù nh§t mua. Ng÷íi thù ba mua 14 qu£. T½nh sè trùng lóc ¦u trong rê.
B i gi£i:

Ng÷íi thù nh§t mua 21 sè trùng m  hai ng÷íi kia mua.
Vªy ng÷íi thù nh§t mua 13 ê trùng.
Ng÷íi thù hai mua 13 · 53 = 15 (rê trùng)
1 1
Ph¦n trùng ng÷íi thù ba mua: 1 − 3 + 5 = 157 (rê trùng)
Sè trùng trong rê l  14 : 157 = 30 (qu£).

22

Sigma - MATHS

\ = 600 . T½nh gâc
B i 107: Trong tam gi¡c ABC, AB = AC, AD = AE v  BAD

CDE.

B i gi£i:

\ = 2x ⇔ BAC
\ = 600 + 2x
°t DAE

\ = ACB
\ = (1800 − 600 − 2x) : 2 = 600 − x
ABC
\ = AED
\ = (1800 − 2x) : 2 = 900 − x
⇔ ADE
\ + DCE
\ = 900 − x
CDE
\ = 600 − x
DCE
\ = (900 − x) − (600 − x) = 300 .
CDE

B i 108: Trong tam gi¡c ABC, gâc ABC b¬ng 800, AD = AE v  CD = CF.

T½nh gâc EDF.

B i gi£i:
b+C
b = 1800
Ab + B
Ab = 1800 − (b
1+b
1)
b+C
b = 1800
Tø
Ab + B
0
b
B = 80
Cb = 1800 − (b
2+b
2)
0
0
0
180 − 2 × b
1 + 80 − 180 − 2 × b
2 = 1800

23

Sigma - MATHS

4400 − 2 × (b
1+b
2)
2600
(b
1+b
2)
\ +b
EDF
1+b
2
\
EP
F

= 1800
= 2 × (b
1+b
2)
= 1300
= 1800
= 500 .

Xin ch¥n th nh c£m ìn sü quan t¥m cõa b¤n åc!

. . . . . . . . . . . . . . . ∗∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . H˜T . . . . . . . . . . . . . . . ∗∗∗ . . . . . . . . . . . . . . .

24